近日，數(shù)理學(xué)院王晚生教授團(tuán)隊(duì)在國(guó)際頂尖應(yīng)用數(shù)學(xué)期刊之一的SIAM Journal on Scientific Computing上發(fā)表了題為“Deep Learning Numerical Methods for High-Dimensional Quasilinear PIDEs and Coupled FBSDEs with Jumps”的研究論文。該研究提出了一種新穎的深度學(xué)習(xí)算法，旨在高效求解高維擬線(xiàn)性?huà)佄锓e分微分方程（PIDEs）和帶跳的耦合正倒向隨機(jī)微分方程（FBSDEJs）。這項(xiàng)研究突破了傳統(tǒng)數(shù)值方法在高維問(wèn)題中遭遇的“維數(shù)災(zāi)難”瓶頸，為金融數(shù)學(xué)、隨機(jī)最優(yōu)控制等領(lǐng)域的復(fù)雜問(wèn)題提供了實(shí)用的計(jì)算方案。 

PIDEs 和 FBSDEJs 是隨機(jī)最優(yōu)控制和金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中的關(guān)鍵數(shù)學(xué)模型。不過(guò)這些模型的解析解極難獲得，其數(shù)值求解成為唯一的手段。然而，對(duì)PIDEs的數(shù)值求解，現(xiàn)有的傳統(tǒng)網(wǎng)格類(lèi)方法由于計(jì)算復(fù)雜度隨著維度的增加呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，難以有效應(yīng)對(duì)高維問(wèn)題；同時(shí)對(duì)于耦合的FBSDEJs，由于其時(shí)間上的正倒向耦合，傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法將非常復(fù)雜。 

王晚生教授團(tuán)隊(duì)提出的深度學(xué)習(xí)算法（Deep FBSDE method）巧妙地應(yīng)對(duì)了這些挑戰(zhàn)。該方法的核心思想包括三個(gè)步驟：首先，利用非線(xiàn)性費(fèi)曼-卡茨公式（nonlinear Feynman-Kac formula）將高維PIDE問(wèn)題轉(zhuǎn)化為耦合的FBSDEJ問(wèn)題；其次，將此FBSDEJ問(wèn)題視為一個(gè)隨機(jī)控制問(wèn)題，并創(chuàng)新性地引入一對(duì)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，分別用于逼近解的梯度和積分核；最后，通過(guò)最小化一個(gè)與終端條件相關(guān)的全局損失函數(shù)來(lái)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，從而獲得方程的解。 

該研究工作的另一項(xiàng)重要貢獻(xiàn)在于其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治?。研究團(tuán)隊(duì)為該深度學(xué)習(xí)算法提供了完整的誤差估計(jì)，通過(guò)分析馬爾可夫迭代的收斂性、時(shí)間離散化誤差以及深度學(xué)習(xí)的模擬誤差，證明了在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通用逼近能力下，算法的近似誤差可以收斂到零。這為深度學(xué)習(xí)方法在科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域的應(yīng)用提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。 

該研究工作得到了國(guó)家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃、國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目、上海市科學(xué)技術(shù)委員會(huì)科技創(chuàng)新行動(dòng)計(jì)劃等資金支持。

（供稿：數(shù)理學(xué)院）